Question

如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接BG与DE相交于点H.(1)证明:△ABG≌△ADE;(2)试猜想∠BHD的度

如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．（1）证明：△ABG≌△ADE；（2）试猜想∠BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜∠BAE＜180°），设△ABE的面积为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并给予证明．

Answer 1

解：（1）证明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，
∠GAE=∠BAD=90°，∠GAE+∠EAB=∠BAD+EAB，
即∠GAB=∠EAD，
又AG=AE，AB=AD，
∴△ABG≌△ADE；
（2）我猜想∠BHD=90°；理由如下：
∵△ABG≌△ADE，
∴∠1=∠2，
而∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
∵∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠BHD=90°；
（3）当正方形ABCD绕点A逆时针旋转0°＜∠BAE＜180°时，
S1和S2总保持相等；证明如下：
由于0°＜∠BAE＜180°，因此分三种情况：
①当0°＜∠BAE＜90°时（如图10）
过点B作BM⊥直线AE于点M，
过点D作DN⊥直线AG于点N，
∵∠MAN=∠BAD=90°，
∴∠MAB=∠NAD

又∠AMB=∠AND=90°，AB=AD，
∴△AMB≌△AND
∴BM=DN又AE=AG
∴1/2AE*BM=1/2AG*DN
∴S1=S2
②当∠BAE=90°时如图10（a），
∵AE=AG，∠BAE=∠DAG=90°，AB=AD，
∴△ABE≌△ADG
∴S1=S2
③当90°＜∠BAE＜180°时如图10（b），
和①一样；同理可证S1=S2
综上所述，在（3）的条件下，总有S1=S2