Question

问一到高中数学题目,求详解

<p style="margin-top:0cm;margin-right:0cm;margin-bottom:3.75pt;margin-left:
0cm;line-height:19.5pt;word-break:break-all" >已知实数x，y满足2x+y≥1，求u=x^2+y^2+4x－2y的最小值。
已知实数x，y满足2x+y≥1，求u=x^2+y^2+4x－2y的最小值。

Answer 1

【参考答案】

 

由2x+y≥1得 y≥1-2x

u=x²+y²+4x-2y=(x+2)²+(y-1)²-5

即 令T=u+5=(x+2)²+(y-1)²

则T可以看做是y≥1-2x所在区域内的点到点(-2，1)最小距离的平方。

易知，最小距离是点(-2，1)与直线y=1-2x的距离d=4/√5

∴T=(4/√5)²=16/5

∴u=(16/5)-5=-9/5

 

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Answer 2

不等式2x+y≥1表示点P(x,y)的可行域为
直线2x+y=1的右侧区域

u=x^2+y^2+4x－2y=（x+2)²+(y-1)²-5
记A(-2,1),则（x+2)²+(y-1)²=|PA|²
过A(-2,1)向 直线2x+y=1引垂线，垂足为Q
则|AQ|为|PA|的最小值
根据点到直线距离公式
|AQ|=|-4+1-1|/√5=4/√5
∴|PA|²≥16/5
(x+2)²+(y-1)²-5≥16/5-5=-9/5
即u=x^2+y^2+4x－2y的最小值是-9/5