Question

如图，梯形ABCD中，AD平行于BC,AC与BD相交于O点，过点B作BE平行于CD交CA的延长线于点E.

问：OC平方=OA乘OE

Answer 1

证明:在梯形ABCD中,
∵AD‖BC,AC与BD相交于O点,
∴∠AOD=∠BOC,∠ADB=∠DBC,
即△AOD∽△BOC,OA/OC=OD/OB
在△BOE与△COD中,
∵BE‖CD,BD与CE相交于O点,
∴∠BOE=∠COD,∠BEC=∠DCE
即△BOE∽△COD,OC/OE=OD/OB
即OA/OC=OD/OB=OC/OE
OC·OC=OA·OE
得证

Answer 2

∵AD∥BC，∴OC/OA＝OB/OD
又∵BE∥CD，∴OE/OC＝OB/OD
∴OC/OA＝OE/OC
∴OC²=OA•OE．

Answer 3

平行线分线段成比例定理】
三条或三条以上的平行线截任意两条直线，所截得的对应线段成比例
定理推论：
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例
定理推论：
两条或两条以上的平行线，截任意一角的两边，所截出的对应线段成比例
证明：
过C作CF//BD，交AD的延长线于点，
过O点作OM//DC，OG//AB，OH//AD交FC于H点，连接AG
∵ CF//BD，AD//BC，OH//AD
∴ 可得到：
OH//AD//BC； 结论（1）
⠀DBCF、⠀DOHF、⠀OBCH 均为平行四边形 结论（2）
又∵ 平行四边形对边相等的性质可得到：（即：平行线分线段成比例定理）
HF=OD，HC=OB
∵ OH//AD//BC，根据三平行线内截的线段等比定律
∴ 可得到 ：OC/OA=HC/HF=OB/OD 结论（3）
∵ OM//DC，BE//DC
∴ OM//BE//DC
又∵ 平行四边形对边相等的性质可得到：（即：平行线分线段成比例定理）
OE/OC=MB/MC=OB/OD 结论（4）
∴ 结论（3）、结论（4）得到：
OC/OA=OB/OD =OE/ OC
OC/OA=OE/OC 化简等式得到：
OC²=OA×OC