Question

已知函数f（x）=x3-3ax+b（a、b∈R）在x=2处的切线方程为y=9x-14．

已知函数f（x）=x3-3ax+b（a、b∈R）在x=2处的切线方程为y=9x-14．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）令g（x）=-x2+2x+k，若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＜g（x2）求实数k的取值范围．为什么解题的关键是将问题转化为f（x）max＜g（x）max，而不是将问题转化为f（x）max＜g（x）min

Answer 1

f（x）是对任意x1，所以一定要最大值才行，而g（x）是存在x2，所以只要在定义域上的最大值比f（x）大就可以了.希望可以有帮助，不懂可以在追问！

Answer 2

已知函数f（x）=x3-3ax+b（a、b∈R）在x=2处的切线方程为y=9x-14．
（I）求f（x）的单调区间；
（II）令g（x）=-x2+2x+k，若对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，2]，使得f（x1）＜g（x2）求实数k的取值范围．为什么解题的关键是将问题转化为f（x）max＜g（x）max，而不是将问题转化为f（x）max＜g（x）min

(1)解析：∵函数f(x)=x^3-3ax+b（a、b∈R）在x=2处的切线方程为y=9x-14
f’(x)=3x^2-3a=0==>f’(2)=12-3a，f(2)=8-6a+b
∴在x=2处的切线方程为y=(12-3a)x+b-16=9x-14==>a=1,b=2
∴f(x)=x^3-3x+2==> f’(x)=3x^2-3=0==>x1=-1，x2=1
f’’(x)=6x==> f’’(x1)<0, f’’(x2)>0
∴当x∈(-∞,-1)或(1,+∞)时，单调增；当x∈[-1,1]时，单调减；
(2)解析：令g(x)=-x^2+2x+k，∵对任意x1∈[0，2]，均存在x2∈[0，2]，使得f(x1)＜g(x2)
由(1)知函数f(x)在x=1处取极小值f(1)=0，f(0)=2，f(2)=4
∴函数f(x)在区间[0,2]上值域为[0,4]
要满足题意，只要函数g(x)在区间[0,2]上至少存在一点x2,使g(x2)>4
∵g(x)=-x^2+2x+k为开口向下的抛物线，其最大值为g(1)=1+k
∴只要1+k>4即可
∴k>3
即解题的关键是将问题转化为f（x）max＜g（x）max

Answer 3

解 因为在X=2处的切线方程为y=9x-14 即K=9 f(x)的导函数为：x2-3a 即9=2*2-3a 得a=-5/3有切线方程的x=2时y=4 代入得到4=8-5+b 得b=1 所以f（x）=x3+5x+1 追问