Question

已知数列{an}，{bn}满足bn=an+1-an，其中n=1，2，3，… (1)若a1=1，bn=n，求数列{an}的通项公式； (2)若b

①记cn=a6n-1(n≥1)，求证：数列{cn}为等差数列；

Answer 1

(1)当n≥2时，
有 an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－a(n－1))
＝a1＋b1＋b2＋…＋b(n－1)
＝1＋(n－1)×n/2＝(n^2)/2－n/2＋1.
又因为a1＝1也满足上式，
所以数列{an}的通项为an＝(n^2)/2－n/2＋1.
(2)因为对任意的n∈N*有b(n＋6)＝(bn＋5)/(bn＋4)
＝1/(bn＋3)
＝(bn＋1)/(bn＋2)
＝bn，
即数列{bn}各项的值重复出现，周期为6,数列{bn}的前6项分别为1，2，2，1，1/2.1/2.
所以c(n＋1)－cn＝a(6n＋5)－a(6n－1)
＝b(6n－1)＋b6n＋b(6n＋1)＋b(6n＋2)＋b(6n＋3)＋b(6n＋4)
＝1＋2＋2＋1＋12＋12＝7(n≥1)，
所以数列{cn}为等差数列．
http://www.daydaytest.com/html/qDetail/02/g3/201111/mq0hg302262761.html