Question

在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE,CE.当AE与AD满足什么数量关系

时，四边形ABEC是菱形？请说明理由。

Answer 1

当AE=2AD，即AD=DE时，四边形ABEC是菱形。
AB=AC ==>△ABC为等腰三角形
D是BC的中点 ==>AD垂直于BC ==>ED垂直于BC ==>△EBC等腰三角形
所以当AB=BE时，四边形ABEC是菱形，等腰△ABC与△EBC全等，
这时AD=DE，AE=2AD，AD=DE

Answer 2

AE=2AD时，四边形ABEC是菱形。
证明：
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∴直线AE垂直平分BC，∴EB=EC，
∵AE=2AD，
∴AD=DE，
∴CD垂直平分AE，∴AC=EC，
∴AB=AC=EC=EB，
∴四边形ABEC是菱形。

Answer 3

菱形是特殊的四边形，它的对角线相互平分，且垂直，但不一定相等，如果相等就是正方形，反过来，如果一个四边形它的两条对角线相互平分，且垂直，则它是菱形，
就本题目而言，对角线AE与BC已经垂直，且AE平分BC，要想它成为菱形只要BC平分AE即可，即
AD=DE
所以当AE=2AD时，四边形ACEB为菱形