Question

已知DEF是正三角形，D、E、F分别在三角形ABC的三边上，且AF=BD=CE，求证ABC也是正三角形。

Answer 1

解答如下：

数学基础不好怎么办：

 数学在世界范围里都被众多国家作为一门最基本的学科，原因就是它可以培养一个人最基本的逻辑意识及能力。

 数学基础不好最根本的原因就是小孩的逻辑意识及思维没有具备或不足。我们国家现有的数学课本还是很好的：它从最基本的操作（数棒）开始培养这种意识，从加法推出减法，而后是乘法到除法。

在这个过程中一些最基本的逻辑思维或是意志其实就培养起来了。而后的学习基本都是一环接一环推出公式然后练习运用，反过来在证明下一个公式推出的前提。

小孩数学基础不好，先别着急。冷静分析一下小孩是因为最基本的逻辑思维不足还是公式记不住？还是公式运用不对？等等。然后有的放矢，针对不足加强起来就会有效果的。这事最好自己来操作，有点耐心。别让人辅导或是请教专家什么的，因为这个世界上应该了解小孩的不是你出钱或找来的人，而是他的父母。

先决定了这样来提高或解决问题的思路，小孩喜欢什么方法就用，争取做到一个有的放矢的教育，一个高兴的去学。这种局面不止能让你解决问题，孩子与父母的情谊也会在这过程中有更深的建立，让孩子获得成功带给他更大更多的信心，为应对以后的人生积累资本。

Answer 2

命题1：三角形的两边定长，第三边越大，则两定长边所夹的角越大。 （cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(ab)
c越大，cos(C)越小，在0-Pi中cos(C)是单调递减的，因此C随c增大而增大）

命题2：三角形的两边定长，两边所夹的角越大，则短的边邻角越小。（以长边为半径画个圆可证）

命题3：假设题中ABC不为等边三角形，则ABC也不是等腰三角形。（若AB=AC，则AD=CF，ADF与CEF全等得∠A=∠
C从而AB=BC==AC）

假设ABC不是等边三角形，根据命题3，ABC也不是等腰三角形，
再假设AC>AB>BC，则CF>AD>BE，根据命题1，有∠1>∠2>∠3；
1、若DF>=AF
根据命题2，∠C<∠A<∠B
但根据三角形大边对大角的定理，应该是∠B>∠C>∠A
因此矛盾，假设不成立；
2、若DF<AF
根据命题2，∠4<∠5<∠6
但∠1+∠6=∠2+∠4=∠3+∠5=180-60=120
得∠1=120-∠6,∠2=120-∠4,∠3=120-∠5
若命题2成立，则∠2>∠3>∠1
这与命题1得出的推论矛盾，所以假设也不成立。

由此可得，不论何种情况假设都不成立，因此ABC是正三角形。

Answer 3

证明（反证法）：
假设△ABC不是等边三角形且∠A、∠B与∠C中∠A最大
则BC大于其它两边（大角对大边）
所以CE>BD和AF
所以∠EFC>∠BED和∠ADF（大边对大角）
因为AD=BE=CF，DE=DF=EF
所以∠C<∠A和∠B（当两边的长固定时，夹角增加时，对应三角形的另外两个角随之减少）
因为∠A>∠B和∠C
所以∠AFD>∠BDE和∠FEC
由于∠AFD+60°=∠FEC+∠C
因为∠AFD>∠FEC，所以∠C>60°
在△ABC中，最小的角∠C>60度，三角形不成立（在三角形中，三个角的总和=180°）
所以∠C<或=60°
同理假设△ABC不是等边三角形且∠A、∠B与∠C中∠B或∠C最大
可得∠A<或=60°，∠B<或=60°
所以△ABC中∠B=∠A=∠C=60°