Question

已知正数数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意的n∈N+,有Sn=1/4(an+1)²

（1）求｛an｝的通项公式
（2）设bn=an×3^n，记｛bn｝的前n项和Tn，求Tn

Answer 1

1）
n=1，解得
a1=1
n>1时
S(n-1)=1/4(a(n-1)+1)^2
Sn=1/4(an+1)^2
相减并整理得到
an^2-2an-a(n-1)^2-2a(n-1)=0
(an-a(n-1)-2)(an+a(n-1))=0
因为an为正，所以an+a(n-1)>0
所以得an-a(n-1)-2=0
an-a(n-1)=2
即an为等差数列
a1=1
an=a1+2(n-1)=2n-1
2）
bn=(2n-1)×3^n
Tn=1×3+3×3^2+...+(2n-1)×3^n
3Tn= 1×3^2+...+(2n-3)×3^n+(2n-1)×3^(n+1)
相减得到
2Tn=-1×3-2×3^2-...-2×3^n+(2n-1)×3^(n+1)
=3-6(3^n-1)/(3-1)+(2n-1)×3^(n+1)
=6-3^(n+1)+(2n-1)×3^(n+1)
=6+(2n-2)×3^(n+1)
Tn=3+(n-1)×3^(n+1)