Question

已知函数f(x)=[a-(1/2)]x^2+lnx 当a=0时,求函数f(x)的单调递增区间

(2)若任意x∈[1,3],使f(x)＜(x+1)lnx成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

1.a=0
f(x)=-(1/2)x^2+lnx
f`(x)=-x+1/x=(1-x^2)/x
f(x)的定义域是x>0
令f`(x)=(1-x^2)/x>=0
0<x<=1
f(x)增区间是(0,1]减区间是(1,+∞）
2.(a-1/2)x^2+lnx <(x+1)lnx
移项得
(a-1/2)x^2-xlnx<0
x[(a-1/2)x-lnx]<0
x∈[1,3],所以x>0
(a-1/2)x-lnx<0
解得a<lnx/x+1/2
因为只需存在x∈[1,3],使不等式成立，所以只需求得lnx/x+1/2在[1,3]上的最大值即可。
对lnx/x求导得，
（1-lnx）/x^2,
令其=0得x=e。
在[1,e]上，导数大于0，在[e,3]上，导数小于0.
所以lnx/x在[1,3]上先增后减，那么最大值e点的值即可。
lne/e=1/e
所以a<1/e+1/2
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