Question

设函数f（x）=ex-ax-2

（Ⅰ）求f（x）的单调区间 （Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k） f´（x）+x+
若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k） f´（x）+x+1＞0，求k的最大值

Answer 1

看书写方式应该是f(x)=e^x-a*x-2 其中^表示次方数
一、单调区间就是对f(x)求导
f ‘（x）=e^x-a,当f'(x)>0为单调增也就是e^x-a>=0，当a<=0时必然成立,也就是（-∞,+∞）单调增
当a>0时，则x>=lna单调增区间为[lna,+∞），同理：(-∞,lna)为单调减区间
二、a=1,则由第一步可知（-∞，0）单调减，（0，+∞）单调增（也就是f(0)为最小值）
求（x-k) f'(x)+x+1>0
(x-k) *(e^x-1)+x+1>0
(x-k)*e^x+k+1>0
(1-e^x) *k>-1-x * e^x
其中x>0,则e^x>1,1-e^x<0
k<(1+x*e^x)/(e^x-1)
求最大k值必须先求右式最大值，则先得了解右式的单调性
右边=x+(1+x)/(e^x-1)
求导=1+(e^x-1-(x+1)*e^x)/(e^x-1)^2=1-(x*e^x)/(e^x-1)^2
(x*e^x)=(e^x-1)^2
e^x+x*e^x=2*(e^x-1)*e^x; 1+x=2*(e^x-1)
继续求导
1=2*e^x 则x=ln(1/2)，也就是说x=ln(1/2)时,此时x=ln(1/2)<0,则对于x>0的范围也就是
k<(1+x*e^x)/(e^x-1) x趋向于0
我奔溃了，围观求真相，洗洗睡