Question

定积分令t^2=1-sinx算√(1-sinx)在0到π上的积分！

为什么错，错在哪？

Answer 1

错误的根源在于1-sinX在0到π上不是单调变化的，而t^2在0到1上是单调变化的。所以你虽然用不等式的法则算出x大于0而小于π等价于t大于0且小于1，但是对于积分区间来说两者实质上不是等价的，而要想使上述代换能够使用就必须把原积分区间从π/2处拆开。

Answer 2

sinx=1-t²
x=arcsin(1-t²)
所以dx=1/[1-(1-t²)²] dt
这样的话更复杂了，算不出的

1-sinx=sin²x/2+cos²x/2-2sinx/2cosx/2=(sinx/2-cosx/2)²
所以令a=x/2
则x=2a
dx=2da
则原式=∫(0到π/2)|sina-cosa|*2da
=∫(0到π/4)（cosa-sina)*2da+∫(π/4到π/2)(sina-cosa)*2da
=(2sina+2cosa)(0到π/4) +(-2cosa-2sina)(π/4到π/2)
=2√2-2+(-2+2√2)
=4√2-4

追问

我只问，为什么错？

追答

我怎么知道你怎么做的

追问

我只做了换元，你有认真思考过我的思路吗？你不知道我怎么错就别回复了，多余。

追答

你怎么知道错了？
只是这样太复杂了，没法做
或者你忘了还有dx=1/[1-(1-t²)²] dt

采纳吧

Answer 3

因为定积分=∫(0,π）√(1-sinx)dx
如果用你说的换元方法，则有sinx=1-t^2,即x=arcsin(1-t^2).
这样积分部分=∫t darcsin(1-t^2).这样就复杂了。同时，对应求积分t的上下限还出现正负问题，也是出问题的一个方面。