Question

f（x）=lnx+x 方程2mf(X)=x^2有唯一实数解，求正数m的值。

Answer 1

已知函数f（x）=lnx+x. 且方程2mf（x）=x�0�5有唯一实数解,求正实数m的值。解：2m lnx+2m = 2 设g(x)= 2m lnx ,h(x)= 2-2m 问题转化为两个函数图像有且只有一个交点问题。有图像可以看出交点p(a,b)为两个图像的切点。则：g(x)/=h(x)/即：a2-ma-m=0(1),再有b=a2-2ma=2m lna,化简 a2-2ma-2m lna=0（2）由（1）（2）可知a+2 lna=1,所以a是方程x+2 lnx=1的根，解得a=1代入（1）可得m= 0.5

还有一种简单解法
解：2mf（x）=x�0�5有唯一实数解
所以2m(lnx+x)=x^2有唯一实数解
即：x^2=0时，x此时才有唯一实数解。
所以m=0，
望采纳o(∩_∩)o 哈哈

Answer 2

2mlnx+2mx=x�0�5 即 2mlnx=x�0�5-2mx 有唯一实数解
则说明函数y=2mlinx 与函数y=x�0�5-2mx 只有一个交点
因为要求正数m 所以m>0
要使2方程有一个交点（p,q) 那么2个方程在x=p时的导数相等
∴ 2m/p=2p-2m 即2m=2p�0�5-2mp 即2m=2p�0�5/(1+p)
∵把交点（p.q)带入2方程得 2mlnp=p�0�5-2mp
联立得 m=1/2
即m=1/2
望采纳！