Question

已知不等式xy≤ax²+2y²对于x属于[1,2]，y属于[2,3]恒成立，则实数a的取值范围

Answer 1

已知不等式xy≤ax²+2y²对于x属于[1,2]，y属于[2,3]恒成立，则实数a的取值范围
解：∵1≤x≤2，2≤y≤3；∴2≤xy≤6；
当a≧0时,a≤ax²≤4a，8≤2y²≤36；故2≤xy≤6≤a+8≤ax²+2y²≤4a+36；即a≧0时不等式
xy≤ax²+2y²恒成立；
当a<0时,4a≤ax²≤a，8≤2y²≤36；故2≤xy≤6≤4a+8≤ax²+2y²≤a+36；由4a+8≧6，
得0>a≧-1/2；即a的取直范围为a≧-1/2.

追问

答案是（-1，正无穷），用同时出x平方和斜率算，

追答

重作如下：
∵1≤x≤2，2≤y≤3；∴1≤y/x≤3；
用x²除原不等式xy≤ax²+2y²的两边得y/x≤a+2(y/x)²；设y/x=u，则有f(u)=2u²-u+a≧0..........(1)；
原命题等价于要使(1)在1≤u≤3时恒成立，即应使f(1)=2-1+a=1+a≧0，故得a≧-1...........①；
及f(3)=18-3+a=15+a≧0，故又得a≧-15................②；
①与②要同时满足，故应取其交集，即①∩②={a∣a≧-1}，就是a的取值范围。