设向量组α1,α2,α3线性无关,证明β1=α2+α3,β2=α1+α3,β3=α1+α2线性无关 10
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证明：
k1β1+k2β2+k3β3
=k1（α2+α3）+k2（α1+α3）+k3（α1+α2）
=（k2+k3）α1+（k1+k3）α2+（k1+k2）α3
因为α1，α2，α3线性无关
所以：
k2+k3=0
k1+k3=0
k1+k2=0
因为上方程系数行列式为：
0 1 1
1 0 1
1 1 0
经初等变换可得：
1 1 0
0 1 1
0 0 2
所以行列式的值为：|A|=1x1x2=2≠0
所以β1，β2，β3线性无关
k1β1+k2β2+k3β3
=k1（α2+α3）+k2（α1+α3）+k3（α1+α2）
=（k2+k3）α1+（k1+k3）α2+（k1+k2）α3
因为α1，α2，α3线性无关
所以：
k2+k3=0
k1+k3=0
k1+k2=0
因为上方程系数行列式为：
0 1 1
1 0 1
1 1 0
经初等变换可得：
1 1 0
0 1 1
0 0 2
所以行列式的值为：|A|=1x1x2=2≠0
所以β1，β2，β3线性无关
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