Question

设a，b，c是正实数，求证：a^ab^bc^c≥（abc）*1/3(a+b+c)

Answer 1

因为 a、b 是正实数，如果 a>b ，则 a-b>0 ，a/b>1 ，因此 (a/b)^(a-b)>1 ，
如果 a=b ，显然 (a/b)^(a-b)=1 ，
如果 a<b ，则 a-b<0 ，0<a/b<1 ，因此 (a/b)^(a-b)>1 ，
总之，对任意正数 a、b ，都有 (a/b)^(a-b)>=1 ，化简得 a^a*b^b>=a^b*b^a ；
同理有 b^b*c^c>=b^c*c^b ，c^c*a^a>=c^a*a^c ，
以上三式两边分别相乘，得 (a^a*b^b*c^c)^2>=a^(b+c)*b^(c+a)*c^(a+b) ，
两边同乘以 a^a*b^b*c^c 得 (a^a*b^b*c^c)^3>=a^(a+b+c)*b^(a+b+c)*c^(a+b+c) ，
化简即得结论。