Question

2013年全国高中数学联赛(四川省初赛）最后一题

已知f(x)=x^3+ax^2+bx+4，若f（x0)=x0则x=x0为此函数的不动点
（1）若a=0时求f（x）的单调递增区间
（2）若a=0时f(x0)=x0且f(x0)为该函数的极值求b=？
（3）试证不存在（a，b）使f(x)互异的两个极值点x1 x2同时为其不动点
答对再加90分

Answer 1

(1)f'(x)=3x^2+b
当b≥0时，f'(x)恒≥0，函数f(x)在R上单调递增
当b＜0时，当-√(-b/3)＜x＜√(-b/3)时，f'(x)＜0，函数单调递减
当x≥√(-b/3)或≤-√(-b/3)时，f'(x)≥0，函数单调递增
即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-√(-b/3)]∪[√(-b/3),+∞)
(2)函数极值点为x=√(-b/3)和x=-√(-b/3)
∴f(√(-b/3))=√(-b/3)
-b/3*√(-b/3)+b√(-b/3)+4=√(-b/3)
令√(-b/3)=t,原方程化为：2t^3+t-4=0
这个一元三次方程解不出来吧,大概在1~2之间。
或者：f(-√(-b/3))=-√(-b/3)
b/3√(-b/3)-b√(-b/3)+4=-√(-b/3)
令√(-b/3)=t,原方程化为：2t^3+t+4=0
无正解
(3)f'(x)=3x^2+ax+b=0
f(x)=x^3+ax^2+bx+4=x
讨论方程组解的个数
x1^3+ax1^2+(b-1)x1+4=0
x2^3+ax2^2+(b-1)x2+4=0
两式相减：(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)+a(x1-x2)(x1+x2)+(b-1)(x1-x2)=0
约去(x1-x2)，再用两根之和、之积代入，化简后得到：b=(2a^2+9)/6
再代入二次方程△=a^2-12b中：△=-3a^2-18恒＜0
∴方程组不存在两个不同根
∴不存在（a，b）使f(x)互异的两个极值点x1 x2同时为其不动点

第二题数据是不是错了，如果是f(x)=x^3+ax^2+bx+3就方便了。

追问

貌似和答案完全不一样