Question

f(x)是[a,b]上的连续函数,g(x)是[a,b]上的可积函数

(1)证明:如果g(x)>=0或g(x)<=0(在区间[a,b]上不改变符号),则存在ξ∈[a,b],满足∫f(x)g(x)dx=f(ξ)∫g(x)dx（两个积分都是a到b的定积分）
(2)举例说明当g(x)在区间[a,b]上改变符号时结论未必成立

Answer 1

f(x)是[a,b]上的连续函数，所以可以设m<=f(x)<=M。
不妨设g(x)恒>=0，反之用-g(x)取代。
所以mg(x)<=g(x)f(x)<=Mg(x)
m∫g(x)dx=∫mg(x)dx=<∫f(x)g(x)dx<=∫Mg(x)dx=M∫g(x)dx
所以设∫f(x)g(x)dx=T∫g(x)dx
因为f(x)连续，所以对于任何一个T满足m<=T<=M，存在ξ使得f(ξ)=T。

所以证毕。

反例

区间[a,b]=[0,2pi]
g(x)=sin(x)
f(x)=sin(x)
∫f(x)g(x)dx=(1/2)∫(1-cos2x)dx=pi
f(ξ)∫g(x)dx=0