Question

设 f(x)在x=0存在二阶导数,lim(x→0)[xf(x)-ln(x+1)]/x^3求f(0)f'(0)f''(0)

用罗必达法则 写出详细过程

Answer 1

首先分母趋于0，但极限有界，所以
分子也趋于0才可能
一看的确
洛必达一次
lim [f(x)+xf'(x)-1/(1+x)]/3x^2=1/3
同理分子在x=0时应该为0
所以
f(0)+0-1=0
f(0)=1
洛必达第二次
lim [f'+f'+xf''+1/(1+x)^2]/6x=1/3
同理分子在x=0时应该为0
所以
2f'(0)+0+1=0
f'(0)=-1/2
洛必达第三次
lim [2f''+f''+xf'''-2/(1+x)^3]/6=1/3
即
3f''(0)-2=2
f''(0)=4/3

f(0)=1,f'(0)=-1/2,f''(0)=4/3

Answer 2

题目似乎有点问题，应该告知题目已知的那个极限的最终结果，lim(x→0)[xf(x)-ln(x+1)]/x^3=?,才能求出f(0),f'(0)及f''(0)的值。