Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点 （1）若

直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG（2）若直线AH垂直于CE，垂足为H，叫CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并说明理由

Answer 1

第一问
(1)∵AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中点，
∴CD⊥AB，CD=AB/2=AD=BD
又∵BF⊥CE，
∴∠DCE+∠CGF=∠DCE+∠CED，
∴∠CGF=∠CED，又∵∠DGB=∠CGF，
∴∠CED=∠BGD
又∵∠CDE=∠BDG=90°,
∴△CDE≌△BDG，
∴DG=DE，
∴AD-DE=CD-DG
即AE=CG

第二问
法①
证明：
∵∠ACB=90°
∴∠ACH+∠BCF=90°
∵CH⊥AM，即∠CAH=90°
∴∠ACH+∠CAH=90°
∴∠BCF=∠CAH
∵CD为等腰三角形斜边上的中线
∴CD=AD
∴有∠ACD=45°
△CAM与△BAE中
BC=CA
∠BCF=∠CAH
∠CBE=∠ACM
∴△CAM≌△BAE
∴BE=CM 证毕 □

法②
证明：
过廷长CD到N使DN=CD 连接NB,AN
∵D为AB中点，且ACB为等腰直角三角形AB为斜边
∴AB与CN互相垂直平分
∴ACBN为正方形
∴∠CAG+∠∠NAM=90°
又∵∠EGA=90°
∴∠ACE+∠CAG=90°
∴∠ACE=∠NAM
∵∠EAC与∠CNA均为正方形对角线平分的角
∴∠EAC=∠CNA=45°
△AEC与△AMN中
∠EAC=∠CNA
AN=CA
∠ACE=∠NAM
∴△AEC≌△AMN
∴AE=MN
又∵AB=NC
∴EB=CM 证毕 □

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