Question

线性代数问题,谢谢!!!!

(b)(C)小问求详细过程, 谢谢!!!!!!

Answer 1

(a)如图所示，区域R就是圆和椭圆中间的环形区域

 

(b)根据题意，把椭圆直角坐标系方程转换成极坐标方程

令x=rcosθ，y=rsinθ，有(rcosθ-1)²/9+r²sin²θ/8=1，且sin²θ=1-cos²θ

消去sinθ化简得：9r²-16rcosθ-r²cos²θ=64

配方有(rcosθ+8)²=9r²，所以rcosθ+8=3r（-3r要舍去，因为若是-3r，则r(cosθ+3)=-8，无解！）

椭圆机坐标方程满足8+rcosθ=3r，其中a=8，b=3

 

(c)重积分x、y设定同(b)，被积函数f(x,y)=f(r,θ)=1/r³

因为Jacobi行列式|∂(x,y)/∂(r,θ)|=r

所以，∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(r,θ)rdrdθ=∫∫(1/r²)drdθ=∫∫(1/r²)drdθ

由(b)可知r=8/(3-cosθ)，即积分区域R={(r,θ)|1≤r≤8/(3-cosθ),0≤θ≤2π}

∫∫(1/r²)drdθ=∫dθ∫(1/r²)dr=∫[(5+cosθ)/8]dθ=5π/4

Answer 2

(a) 区域R见图