Question

求证一道几何题目！

Answer 1

这个题要好好学习下:连FD、GD.
∵AD⊥BC,∴△ADE是RT△,又F是AE的中点,
∴DF=FA=FE(RT△斜边的中线等于斜边的一半),
∴∠FDE=∠FED,∵∠FGD=∠FED(同弧所对),
∴∠FGD=∠FDE,△DFG∼△CFD(两角对应相等),
∴FG/DF=DF/CF,(DF=AF/代入)⇒FG/AF=AF/CF,∠AFG=∠CFA,
∴△AFG∼△CFA(两边成比例夹角相等),∴∠ACF=∠GAF,
∵∠CFE=∠CAF+∠ACF,∠CAF=∠BAF(角平分线),
∴∠CFE=∠BAF+∠GAF=∠BAG(等量代入)
又∵∠CDG=∠CFE(同弧所对),∴∠CDG=∠BAG,
∴A、B、D、G四点共圆(四边形一个外角等于它的内对角),
∴∠AGB=∠ADB=90°,即AG⊥BG.

Answer 2

挺不好想的一道题，脑细胞不知道累死多少。哈哈，开个玩笑。过程中间有那么一两步跳跃，但都不是很麻烦的证明。有问题追问！

追问

其他步骤都还好，就是四点共圆的得来没看懂。

追答

四点共圆，角AGB与角ADB是同弧所对的角，所以相等，而AD垂直BC，所以都等于90

追问

我是问为什么A、B、E、G四点共圆？角AGB与角ADB都等于90度没问题。

追答

角GDE是四边形ABDG的一个外角
而角GAB恰好是外角GDE的内对角
他们俩相等可以推出四点共圆

（四点共圆的性质反过来都可以推出四点共圆，如相交弦定理，同弧所对圆周角相等，圆内接四边形外角等于它的内对角，圆内接四边形对角互补，切割线定理的那个推论等等，这些定理反过来都可以推出四点共圆）

追问

明白了。你在答案中把字母写错了，应该是ABDG，而你写成了ABEG，难怪看不懂。感谢你的耐心解答！

追答

非常抱歉啊，字母太多了，又写错了一个。

追问

呵呵。没关系，以后再帮别人时多注意点就是了！你很厉害，这么难得题目都做得出来！

追答

刚开始也是无从下手，过了很长时间才想到只要证明了ABDG四点共圆就行了，然后又想了很久，直到突然发现DFG和CDF相似，才最终证明出来。
我一直觉得平面几何题相当有意思，尤其是几何题证明可能并不难，但是最先发现这个结论的人很不简单。