Question

证明:当0<x<π时,sinx/2>x/π

Answer 1

l令
f(x)=sinx/2-x/π
f'(x)=1/2cosx/2-1/π=0
cosx/2=2/π
x/2=arccos2/π
x=2arccos2/π 唯一驻点
又
f''(x)=-1/4sinx/2<0 (x∈(0,π))
所以
函数图像是个凸弧，
即 驻点左边递增，右边递减
而
左端点处f(0)=0
右端点处f(π)=sinπ/2-π/π=1-1=0
即
函数最小值=0 （在端点处）
所以
f(x)＞0，x∈（0，π）
即
sinx/2>x/π。

Answer 2

　　构造函数，利用单调性证明
　　g(x)=x/π-sinx/2则 g'(x)＝1/π－(1/2)cosx/2，
　　 g''(x)＝(1/4)sinx/2
显然，当0<x<π时，g''(x)＞0，
　　则 g'(x)是单调递增的，
而g'(0)＝1/π－1＜0，g'(π)＝1/π＞0，
　　g'(x)单调且连续，故存在唯一的 ξ∈(0，π) 使g'(ξ)＝0
于是在 (0，ξ)上，g'(x)＜0，在(ξ，π) 上g'(x)＞0
那么g(x)在 (0，ξ)上递减，在(ξ，π/2) 上递增，故g(x)的最大值必在端点处，
而g(0)＝0－0＝0，g(π)＝1－1＝0，两个端点都是最大值，由于开区间，故g(x)＜g(0)＝0，
即x/π＜sinx /2

Answer 3

证明；设f(x)=sin(x/2)-x/π,
对f(x)求导，
f‘(x)=1/2cos(x/2)-1/π=1/2(cosx/2-2/π)
可得，f'(x)先>0，后<0,f(x)先增后减，在两端取到最小值
f(0）=0，f(π)=0,
则，f(x)>0,即sin(x/2)>x/π成立。