Question

已知双曲线c:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0),以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N

（异于原点O），若|MN|=（2√3）a，则双曲线C的离心率是

Answer 1

解|MN|=（2√3）a，设M(x，√3a）N(x，-√3a），设M与x轴的交点为T
由双曲线的渐近线方程为y=±b/ax
即M(√3b，√3a）N(√3b，-√3a）
则T(√3b，0）
注意ΔCTF是直角三角形
则TF=c-√3b，MT=√3a，CF=c
即TF²+MT²=CF²
即（c-√3b）²+（√3a）²=（c）²
即c²-2√3bc+3b²+3a²=c²
即3b²+3a²=2√3bc
即3c²=2√3bc
即2b=√3c
又有a²+b²=c²
即a²+（√3c/2）²=c²
即a²+3/4c²=c²
即a²=1/4c²
即a=1/2c
即c/a=c/(1/2c)=2

Answer 2

设M坐标是(xo,b/axo.),N 坐标是(xo,-b/axo)

MN=2b/axo=2根号3a
故有xo=根号3a^2/b
又有xo^2+(b/axo)^2=OF^2=c^2
即有3a^4/b^2+3a^2=c^2
3a^2/(c^2-a^2)+3=e^2
3/(e^2-1)+3=e^2
3+3e^2-3=e^4-e^2
e^4-4e^2=0
e^2=4
e=2

Answer 3

解答：
yM=√3a
∴ yM/c=sin∠MOX=√3a/c
∵ tan∠MOX=b/a，
∴ sin∠MOX=b/c
∴ √3a/c=b/c
∴ b=√3a
∴ c=2a
∴ e=c/a=2