Question

已知函数f（x）=x（x-a）^2，求f（x）的单调区间与极值

Answer 1

令f'(x)=(x-a)^2+2x(x-a)=(x-a)(3x-a)=0得x1=a/3，x2=a.若a>0，则
当x∈(-∞,a/3)时,f'(x)>0，f(x)单调增加,当x∈(a/3,a)时，f'(x)<0，f(x)单调减少,当x∈(a，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调增加. 因此，(-∞,a/3)和(a,+∞）是f(x)的单调增加区间；(a/3,a)是f(x)单调减少区间。
同时，f(x)在x=a/3取得极大值f(a/3)=2a^2/9,在x=a取得极小值f(a)=0.a<0时可类似讨论，这里从略。

追问

极值好像求错了

追答

你说的对，求f(a/3)忘记平方了，应该是4a^3/27

Answer 2

对方程进行求导 得到 f(x)'=3x^2-4ax+a^2=0 求得倒数为0
的点为 x=a x=a/3
分类 a>=0 时 f(0,0)>0 上升 所以单调升区间为(负无穷大，a/3) (a,正无穷大) 减区间为(a/3,a) 极大值为f(a/3)=4a^3/27 极小值为 f(a)=0
a<0时 f(0,0)>0 上升 所以单调升区间为(负无穷大，a) (a/3,正无穷大) 减区间为(a,a/3) 极大值为f(a)=0 极小值为 f(a/3)= 4a^3/27

Answer 3

追问

为什么等于零时，没有极值

追答

因为等于0时，导函数大于等于0

在导数等于0的两侧侧导数值大于0

不符合极值定义 这个就如x立方在x等于0的情况一样

追问

谢谢