Question

两道初三数学几何题,求解题过程

1.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm，动线段DE（端点D从B开始）沿BC边以1cm/s的速度向C运动，当端点E到达点C时停止运动，过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF，设线段DE运动时间为t秒。
（1）直接写出线段BE、EF的长（用含t的代表式表示）
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，线段MN所扫过的面积

2.在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0,3）、（-1，0），将平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'，若抛物线过C、A、A'点。

求解题过程。我知道怎么做，就是不知道怎么写过程。都快要中考了，希望大家帮忙，谢谢。

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Answer 1

解：(1) BE＝(t＋4)cm， 1分
EF＝58(t＋4)cm． 4分
(2) 分三种情况讨论：
① 当DF＝EF时，
有∠EDF＝∠DEF＝∠B，
∴ 点B与点D重合，
∴ t＝0． 5分
② 当DE＝EF时，
∴4＝58(t＋4)，
解得：t＝125． 7分
③ 当DE＝DF时，
有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴DE/AB＝EF/BC，即410＝5/8(t＋4)16，
解得：t＝156/25． 9分
综上所述，当t＝0、12/5或156/25秒时，△DEF为等腰三角形．
(3) 设P是AC的中点，连接BP，
∵ EF∥AC，
∴ △FBE∽△ABC．
∴ EF/AC＝BE/BC， ∴ EN/CP＝BE/BC．
又∠BEN＝∠C， ∴ △NBE∽△PBC，
∴ ∠NBE＝∠PBC． 10分
∴ 点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形． 11分
∵ M、N分别是DF、EF的中点，∴ MN∥DE，且ST＝MN＝12DE＝2．
分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
当t＝0时，EF＝58(0＋4)＝52，TK＝12EF•sin∠DEF＝12×52×35＝34；
当t＝12时，EF＝AC＝10，PL＝12AC•sinC＝12×10×35＝3．
∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－3/4＝9/4．
∴S□PQST＝ST•PR＝2×9/4＝9/2．
∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为9/2cm2．

2.
解:(1)设过点C(-1,0),A(0,3),A'(3,0)的抛物线为y=ax²+bx+c.则:

0=a-b+c;

3=c;

0=9a+3b+c.

解得:a=-1,b=2,c=3.故此抛物线为y= -x²+2x+3=-(x-1)^2+4.
A'(3,0),作A'关于Y轴的对称点A''(-3,0),抛物线的对称轴是x=1,连接A''B'于对称轴的交点即是P点.
设A''B'的方程是y=kx+b,B坐标是(1,3),则B'坐标是(3,-1)
坐标代入得到0=-3k+b,-1=3K+b
解得1=-6k,k=-1/6,b=-1/2
即y=-1/6x-1/2,
令X=1,得到Y=-1/6-1/2=-2/3
即P坐标是(1,-2/3)

追问

第三小题呢？

Answer 2

1.如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm，动线段DE（端点D从B开始）沿BC边以1cm/s的速度向C运动，当端点E到达点C时停止运动，过点E作EF∥AC交AB于点F(当点E与点C重合时，EF与CA重合)，连接DF，设线段DE运动时间为t秒。
（1）直接写出线段BE、EF的长（用含t的代表式表示）
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，线段MN所扫过的面积
解：(1) BE＝(t＋4)cm， 1分
EF＝58(t＋4)cm． 4分
(2) 分三种情况讨论：
① 当DF＝EF时，
有∠EDF＝∠DEF＝∠B，
∴ 点B与点D重合，
∴ t＝0． 5分
② 当DE＝EF时，
∴4＝58(t＋4)，
解得：t＝125． 7分
③ 当DE＝DF时，
有∠DFE＝∠DEF＝∠B＝∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴DE/AB＝EF/BC，即410＝5/8(t＋4)16，
解得：t＝156/25． 9分
综上所述，当t＝0、12/5或156/25秒时，△DEF为等腰三角形．
(3) 设P是AC的中点，连接BP，
∵ EF∥AC，
∴ △FBE∽△ABC．
∴ EF/AC＝BE/BC， ∴ EN/CP＝BE/BC．
又∠BEN＝∠C， ∴ △NBE∽△PBC，
∴ ∠NBE＝∠PBC． 10分
∴ 点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形． 11分
∵ M、N分别是DF、EF的中点，∴ MN∥DE，且ST＝MN＝12DE＝2．
分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
当t＝0时，EF＝58(0＋4)＝52，TK＝12EF•sin∠DEF＝12×52×35＝34；
当t＝12时，EF＝AC＝10，PL＝12AC•sinC＝12×10×35＝3．
∴PR＝PL－RL＝PL－TK＝3－3/4＝9/4．
∴S□PQST＝ST•PR＝2×9/4＝9/2．
∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为9/2cm2．

2.
解:(1)设过点C(-1,0),A(0,3),A'(3,0)的抛物线为y=ax²+bx+c.则:

0=a-b+c;

3=c;

0=9a+3b+c.

解得:a=-1,b=2,c=3.故此抛物线为y= -x²+2x+3=-(x-1)^2+4.
A'(3,0),作A'关于Y轴的对称点A''(-3,0),抛物线的对称轴是x=1,连接A''B'于对称轴的交点即是P点.
设A''B'的方程是y=kx+b,B坐标是(1,3),则B'坐标是(3,-1)
坐标代入得到0=-3k+b,-1=3K+b
解得1=-6k,k=-1/6,b=-1/2
即y=-1/6x-1/2,
令X=1,得到Y=-1/6-1/2=-2/3
即P坐标是(1,-2/3)