Question

高二导函数的问题

已知函数f（x）=1/3x^3-ax^2+(a ^ 2-1)x+ln(a+1) 其中a为常数
记函数y=f（x）的极大值点为m，极小值点为n，若2m+5n≥√ 3sinx/cosx+2，对于x∈ [0 π]恒成立，求a的取值范围

Answer 1

这个题目好像有点问题，√3sinx/cosx+2，在x∈ [0 π]是无穷大的，是不是√3sinx/(cosx+2)呢？函数的导数为f(x)=x^2-2ax+a^2-1，令导数等于0，即x^2-2ax+a^2-1=0，求得x=a±1，当x<a-1时，f'(x)>0，函数为增函数，当a-1<x<a+1，f'(x)<0，函数为减函数，当x>a+1，f'(x)>0，函数为增函数，所以函数f(x)在a-1处为极大值点，f(a-1)=a^3/3-a+2/3+ln(a+1)=m，函数f(x)在a+1处为极小值点，f(a+1)=n=a^3/3-a-2/3+ln(a+1)，所以2m+5n=7[a^3/3-a+ln(a+1)]-2，令g(x)=√3sinx/(cosx+2)，则导数g'(x)=√3(2cosx+1)/(cosx+2)^2，因为cosx在[0 π]是大于0的，所以g'(x)=√3(2cosx+1)/(cosx+2)^2>0，g(x)在[0 π]是增函数，g(x)的最大值为0，所以要使2m+5n≥√3sinx/(cosx+2)，对于x∈[0 π]恒成立，2m+5n的最小值大于或等于0，即7[a^3/3-a+ln(a+1)]-2≥0，这个不等式貌似解不出来，是不是题目有什么问题呢？希望帮你解答此题，题目要准确无误，最好以图片的形式发过来，等你！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 2

2m+5n≥√3sinx/(cosx+2)；当 cosx=-1/2时，右端取值最大 (√3*√3/2)/(-1/2 +2)=1；
∴ 2m+5n≥1；
令函数 f(x)=x³/3 -ax²+(a²-1)+ln(a+1) 的导数等于0，即 f'(x)=x²-2ax+(a²-1)=0，求得驻点a-1、a+1；
当 x=a-1 时函数有极大值 m=f(a-1)=(a-1)³-2a(a-1)²+(a²-1)(a-1)+ln(a+1)=ln(a+1)；
当 x=a+1 时函数有极小值 n=f(a+1)=(a+1)³-2a(a+1)²+(a²-1)(a+1)+ln(a+1)=ln(a+1)；
∴ 2m+5n=5ln(a+1)≥1，
∴ a≥-1+e^0.2；

Answer 3

f（x）=1/3x^3-ax^2+(a ^ 2-1)x+ln(a+1)
f'(x)=x^2-2ax+a ^ 2-1=(x-a)^2-1
令f'(x)=0得到x=a+1或x=a-1，所以在x=a+1处为极小值，在x=a-1处为极大值
计算麻烦。。。

Answer 4

f'(x)=x^2-2*a*x+a^2-1=(x-a-1)*(x-a+1)
当x<a-1时 f'(x)>0 则f(x)单调增
a-1<x<a+1时 f'(x)<0 则f(x)单调减
x>a+1时 f'(x)>0 则f(x)单调增
x∈[0,π] 比较一下范围
1、当a+1<0,f(x)为单调增函数