Question

已知a向量=（cosθ，sinθ）和b向量=（根号2-sinθ，cosθ），θ∈（π，2π），且|a向量+b向量=5分之8根

号2，求sinθ的值

Answer 1

由已知可得：向量a+向量b=（cosθ+根号2-sinθ，sinθ+cosθ）
那么：|向量a+向量b|²=（cosθ+根号2-sinθ)²+（sinθ+cosθ)²
=1-2sinθcosθ+2根号2*（cosθ-sinθ）+2 + 1+2sinθcosθ
=4+2根号2*（cosθ-sinθ）
=25分之128
即2根号2*（cosθ-sinθ）=25分之28
cosθ-sinθ=25分之7根号2
cosθ=sinθ+ 25分之7根号2
因为sin²θ+cos²θ=1，所以：
sin²θ+(sinθ+ 25分之7根号2)²=1
2sin²θ+ 25分之14根号2*sinθ+ 625分之98=1
2sin²θ+ 25分之14根号2*sinθ- 625分之527=0
（根号2*sinθ - 25分之17）*（根号2*sinθ + 25分之31）=0
因为θ∈（π，2π），所以：sinθ<0
则可解得：根号2*sinθ + 25分之31=0
即得：sinθ = - 50分之31根号2