Question

当0<x<1/2时,求函数y=x根号下(1-4x^2)的最大值 用基本不等式解

Answer 1

1/8。

y=x√（1-4x^2)

=√x^2（1-4x^2）

=√1/4×4x^2（1-4x^2）

=1/2√4x^2√（1-4x^2）

≤1/2[(4x^2+1-4x^2)/2]^2

=1/2[1/2]^2

=1/2×1/4

=1/8

当且仅当4x^2=1-4x^2时等号成立

即当且仅当x=1/(2√2)时等号成立

根式乘除法法则：

1、同次根式相乘（除），把根式前面的系数相乘（除），作为积（商）的系数；把被开方数相乘（除），作为被开方数，根指数不变，然后再化成最简根式。

2、非同次根式相乘（除），应先化成同次根式后，再按同次根式相乘（除）的法则进行运算。

根式的加减法法则：各个根式相加减，应先把根式化成最简根式，然后合并同类根式。二次根式加减法法则：先把各个二次根式化简成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。

Answer 2

解y=x√（1-4x^2)
=√x^2（1-4x^2）
=√1/4×4x^2（1-4x^2）
=1/2√4x^2√（1-4x^2）
≤1/2[(4x^2+1-4x^2)/2]^2
=1/2[1/2]^2
=1/2×1/4
=1/8
当且仅当4x^2=1-4x^2时等号成立
即当且仅当x=1/(2√2)时等号成立

Answer 3

解:

易知
a^2+b^2>=2ab
所以
y=x根号(1-4x^2)=1/2(2x根号(1-4x^2))<=x^2+(1-4x^2)=1-3x^2
0<=x^2<=1/4
0<=3x^2<=3/4
所以1/4<=1-3x^2<=1
MAX=1