Question

为什么函数f(x,y)在点(x0,y0)处偏导数存在,是函数f(x,y)在该点连续的既不充分也不必要条件？谢谢

Answer 1

偏导数存在, 不一定连续＝＝＝＝》不是充分，例如：f(x,y)＝xy/(x^2+y^2) （x^2+y^2！＝0），f(x,y)＝0（x^2+y^2=0），在（0，0）处。
连续不一定 偏导数存在＝＝＝＝》不是必要,例如,f(x,y)=|x|+1，函数对x的偏导在x=0（也就是平面上的y轴上的所有点）都不存在。
因此，既不充分也不必要条件。

Answer 2

告诉你个口诀：
可导一定连续，连续一定可积，连续一定有界，可积一定有界，可积不一定连续，连续不一定可微，可微一定连续，偏导连续一定可微，偏导存在不一定连续，连续不一定偏导存在，可微不一定偏导连续，二阶混合偏导连续的偏导相等，偏导一个连续一个有界函数可微