Question

一道数学题，求解（详细）

设随机变量X和Y独立同分布,且X的概率分布如下所示,P（X=1）=2/3，P(X=2)=1/3，设U=max{X,Y},V=min{X,Y},求：（1）（U,V）的概率分布；（2）U和V的方差cov(X,Y)

Answer 1

解 ：（1）因随机变量X和Y独立同分布
U的可能取值为1,2；V的可能取值为1,2
P（U=1；V=1）=P(X=1；Y=1)=P（X=1）*P（Y=1）=2/3*2/3=4/9
P（U=1；V=2）=0
P（U=2；V=1）=P（X=2；Y=1）+P(X=1；Y=2)=1/3*2/3+1/3*2/3=2/9+2/9=4/9
P（U=2；V=2）=P（X=2；Y=2）=1/3*1/3=1/9
再画（U，V）的概率分布，在这我就省略去了啊
（2）你是不是想问cov（U，V）
EU=1*4/9+2*5/9=14/9
EV=1*8/9+2*1/9=10/9
EUV=1*4/9+2*4/9+4*1/9=16/9(UV分布省略)
cov(U，V)=EUV---EUEV=16/9---14/9*10/9=4/81
有不理解的再问我

追问

P（U=1；V=1）=P(X=1；Y=1)=P（X=1）*P（Y=1）=2/3*2/3=4/9
P（U=1；V=2）=0
P（U=2；V=1）=P（X=2；Y=1）+P(X=1；Y=2)=1/3*2/3+1/3*2/3=2/9+2/9=4/9
P（U=2；V=2）=P（X=2；Y=2）=1/3*1/3=1/9；额，这些是怎么来的？

追答

对于 P（U=1；V=1）=P(X=1；Y=1)=P（X=1）*P（Y=1）=2/3*2/3=4/9
你该这样分析一下只有X=1；Y=1才可以得到U=1；V=1 是不是这样
P(X=1；Y=1)=P（X=1）*P（Y=1）这一步是因为他们独立 ；X,Y是同分布而且独立的
对于P（U=1；V=2）=0 无论X,Y等于多少，是1还是2，都不可能U=1；V=2
因为U=max{X,Y},V=min{X,Y} 你可以尝试一下 X，Y等于1,2值代入法试一试
对于P（U=2；V=1）=P（X=2；Y=1）+P(X=1；Y=2)=1/3*2/3+1/3*2/3=2/9+2/9=4/9
也是这样分析的 而且仅有两种情况 X=2；Y=1或者 X=1；Y=2 都可以使得U=2；V=1
对于P（U=2；V=2）=P（X=2；Y=2）=1/3*1/3=1/9；
仅有X=2；Y=2 才使得U=2；V=2

Answer 2

p{Z=1} = P{ XY=1 } = P{ X=1,Y=1 }+P{ X=-1,Y=-1} = 2/3 * 2/3 + 1/3 * 1/3 = 5/9

p{Z=1} = P{ XY=-1 } = P{ X=-1,Y=1 }+P{ X=1,Y=-1} = 1/3 * 2/3 + 1/3 * 2/3 = 4/9

分布率：
p{Z=1}=5/9
p{Z=-1}=4/9