Question

数学容斥问题

学校开展运动会，某班参加A项目的有63人，参加B项目的有89人，参加C项目的有47人，三个项目都参加的有24人，参加两个项目的有46人，不参加任何一个项目的有15人，问 该班共有多少人？
这个题目我通过这个公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-C∩B-A∩C-A∩B∩C写出了下面这个式子
设共有x人数....x-15=63+89+47-46+24 解出x=192结果发现不对
现在想问对于这个题目，我这样求解为什么不对？（只想知道为啥这样算结果是错的，不用回答真确的解法）
是通过这个式子 上面的打错一个符号A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C

Answer 1

　　要回答我这样求解为什么不对，为啥这样算结果是错的，

　　不妨从公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-C∩B-A∩C-A∩B∩C的推导入手，

　　从而准确把握公式中各个量的意义，从而发现问题。

 

　　（1）公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-C∩B-A∩C-A∩B∩C的推导

　　看图

　　A+B+C=A∪B∪C+蓝色的集合+2倍的绿色的集合

　　推导步骤：

　　整个图形是A∪B∪C
这个图形就等于A,B,C三集合相加再减去重合了的部分，
而重合了的部分有三个，分别是：A∩B,B∩C,A∩C.
绿色的部分其实就是A∩B∩C,
但是如此一来绿色的部分就多减掉了。
所以后面要加回来.
所以，
整个图形=A图+B图+C图-AB重合的-BC重合的-AC重合的+多减掉了的中间的。
翻译成数学语言就是
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C.

 

　　结合本题，

　　（1）公式中对应的各个量的意义如下：

　　A:某班参加A项目的有63人,

　　B:参加B项目的有89人,

　　C:参加C项目的有47人;

　　......

 

　　问题找到了：

　　参加两个项目的有46人，

　　应为：（A∩B）∪（B∩C）∪（A∩C）；

　　而非：A∩B+C∩B+A∩C

Answer 2

怎么说了，这个就像高中选修的好像是排列组合吧，你错在三个项目的你列的对，但是一个和2个项目，要分类讨论，你直接就一箩筐抱在一起一个式子，要分开，不参加任何一个项目有三种可能，参加2个项目有三种可能C3/2，参加三个项目就是一种可能。你就错在这，不知道你有没有学到这个，是叫排列组合还是什么，高考完就全忘了。 加油

Answer 3

您好！你做的是对的，没发现有什么毛病，我也验证过了。
如果帮到的话，求采纳！谢谢！

Answer 4

-A∩B - B∩C - C∩A 这个式子是把两个相同的都跑出去了，也就是没有两个相同的了。
那么A∩B∩C这个式子是三个相同的呀！！！加上它之后也少了两个相同的那部分啊！

你自己想一想是不是这么回事。

如果不明白请继续追问。
望采纳！