Question

1949的1993次方除以7的余数是？

Answer 1

能被7整除的最接近1949的整数为1946=278×7，1949^1993=(1946+3)^1993
根据（a+b）的n次方去掉括号展开之后：（a+b)^n=a^n + a^（n-1）×b + a^（n-2）×b^2 + a^（n-3）×b^3 + ``````````````+a³×b^（n-3） + a²×b^（n-2）+ a×b^（n-1） + b^n
各项系数可以参照杨辉三角，由于此题只计算余数，所以系数可以忽略
凡是带有1946的项，即公式中的a的项，都可以被7整除，无余数，只有最后的b^n ，即3^1993不能被7整除，有余数，所以1949^1993除以7的余数与3^1993除以7的余数相同
3^1993=3^1992×3=(3²)^996×3=9^996×3
9^1992=(7+2)^996，同理化简3^1993除以7的余数与2^996×3除以7的余数相同
2^996×3=(2³)^332×3=8^332×3=(1+7)^332×3
再次化简2^996×3除以7的余数与1^332×3=3除以7的余数相同
即1993个1949相乘的积除以7的余数为3

Answer 2