Question

请看问题补充

已知抛物线L:y=x平方-(k-2)x+(k+1)平方(1)写出抛物线L的顶点C的坐标;（2）若-4<K < 0，抛物线L和x交与不同两点A,B（点A在点B的右侧），求A,B间的距离取最大值时的K值；（3）在（2）中，A,B距离取得最大值条件下，设经过点A的直线上交抛物线L于点D（不与顶点c重合）。若三角型ABD与三角型ABC面积相等，求CD得解析式。
（请给抛物线的图，这已经是原题。）

Answer 1

郭敦顒回答：

抛物线L:y=x²-(k-2)x+(k+1)²(1)写出抛物线L的顶点C的坐标;

对y求导并等于0得顶点切线方程，

y′=2x－k+2=0，

k=2x+2

∴y=x²－（2x+2－2）x+（2x+2+1）²

=x²－4x²+4x²+4x+1

=x²+4x+1

y=x²+4x+1

y=0时，x²+4x+1=0

x=－2±√3，交点坐标，A（－0.268，0），B（－3.732）

max|AB|=3.464

AB中点为E，[－0.268+（－3.732）]/2=－2，E点坐标是E（－2，0），

CE是抛物线的对称轴，x=－2时，

y=x²+4x+1=4－8+1=－3，抛物线开口向上，

∴顶点C的坐标是C（－2，－3）。

（2）若-4<K <  0，抛物线L和x交与不同两点A,B（点A在点B的右侧），求A,B间的距离取最大值时的K值；

∴有y=x²-(k-2)x+(k+1)²=0

x=k/2－1±√[（k－2）²－4（k+1）²]

（k－2）²－4（k+1）²＞0且最大，对f（k）=－3k²－12x＞0求导并等于0得，

f′（k）=－6k－12=0，∴k=－2

当k=－2时，

max|AB|=3.4641。

（3）在（2）中，A,B距离取得最大值条件下，设经过点A的直线上交抛物线L于点D（不与顶点c重合）。若三角型ABD与三角型ABC面积相等，求CD得解析式。
设D点坐标为D（x1，y1），则

y1=|－3|=3，

3=x²+4x+1，x²+4x－2=0，x1=－2±√6，x=－4.45，x=0.45舍去，

CD的两点式方程：

（y－3）/（x+4.45）=（3－0）/（－4.45+0.268），

－4.182（y－3）=3（x+4.45）

－4.182y+12.546=3x+13.35，

y=－0.7174x－0.192，

CD得解析式是：y=－0.7174x－0.192。

                                         Y

                  D（－4.45，3）

抛物线对称轴

                     B      E         A                X   

                             C（－2，－3）

抛物线未划出，开口向上。