Question

数列{an}中,a1=1,a(n+1)=(an+2)/an

（1）若bn=(an-2)/(an+1),证明{bn}是等差数列
（2）求{an}的通项公式
拜托啦。。。第一小问不写也问题不大，因为我知道怎么做，关键是第二小题。。。
额，写错了，是证明{bn}是等比数列

Answer 1

a(n+1)=(an+2)/an
a(n+1)-2 = (-an+2)/an
1/[a(n+1)-2] = -an/(an-2)
= -1 -2/(an-2)
1/[a(n+1)-2]+1/3 = -2[ 1/(an-2) +1/3]
[1/[a(n+1)-2]+1/3]/[ 1/(an-2) +1/3]=-2
[ 1/(an-2) +1/3]/[ 1/(a1-2) +1/3] = (-2)^(n-1)
1/(an-2) +1/3 = (1/3)(-2)^n
an -2 = 3/[ -1 +(-2)^n]
an = 2+3/[ -1 +(-2)^n]

bn = (an-2)/(an+1)
= {3/[ -1 +(-2)^n] }/{ 3+3/[ -1 +(-2)^n] }
= 1/ (-2)^n
=>{bn}是等比数列

Answer 2

(1) 由已知 a_n的递归关系，知 a_n=(a_(n-1)+2)/a_(n-1)=1+2/a_(n-1) （1式）
计算 b_n / b_(n-1)=(a_n-2) / (a_n+1) * (a_(n-1)+1) / (a_(n-1)-2)
带入（1式）化简得 b_n / b_(n-1)=(2-a_(n-1)) / 2(a_(n-1)+1) * (a_(n-1)+1) / (a_(n-1)-2)
=-1/2
所以 b_n是等比为-1/2的等比数列

(2) 由(1)可求得 b_1=-1/2，所以b_n=(-1/2)^n
由已知 b_n=(a_n-2) / (a_n+1)可求得 a_n=3/(1-b_n)-1=3/(1-(-1/2)^n)-1

Answer 3

第一问知道bn怎么求得的话，第二问直接分离出an就行了啊- -。