Question

已知向量m=（根号3sin（x/4）,1）,向量n=(cos(x/4),cos^2(x/4))

(1)若m.n=1，求cos（2π/3-x）值。（2）记f（x）=m.n，在△ABC中，ABC对边为abc，满足（2a-c）cosB=bccosC，求f（A）取值范围。

Answer 1

m.n=1
(√3sin(x/4),1). (cos(x/4),(cos(x/4))^2)=1
√3sin(x/4). (cos(x/4)+ (cos(x/4))^2 =1
(√3/2)sin(x/2) +( cos(x/2) +1) /2=1
((√3/2)sin(x/2)+(1/2)cosx/2) = 1/2
cos(π/3 -x/2) = 1/2
[cos(π/3 -x/2)]^2 = 1/4
(cos(2π/3 -x) +1)/2 = 1/4
cos(2π/3 -x) = -1/2 （2）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcocC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），…（9分）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=12，即B=π3，…（11分）
∴0＜A＜2π3，
∴π6＜A2+π6＜π2，
∴12＜sin（A2+π6）＜1，…（12分）
又∵f（x）=m�6�1n=sin（x2+π6）+12，
∴f（A）=sin（A2+π6）+12，
∴1＜f（A）＜32，
则函数f（A）的取值范围是（1，32）．