Question

求解一道高等数学题目,求高手解答

Answer 1

两边求导：g(f(x))*f'(x)=√x/2
因为g(x),f(x)互为反函数，所以g(f(x))=x
所以f'(x)=1/(2√x)
两边积分：f(x)=√x+C
则g(x)=(x-C)^2>=0（只在一点为0）
令x=4，则∫(0→C+2)g(t)dt=0
如果C+2≠0，则左边>0，所以C+2=0，即C=-2
所以f(x)=√x-2

追问

要说明g(x)>=0可以根据题目已知条件(x>0)得出g(x)>0么?因为f(x)的定义域应该就为g(x)的值域吧?不知道这样对不对?

追答

个人觉得题目那个x>0没有明确地表示是f(x)的定义域，所以尽量不这么用吧。

Answer 2

所给等式两边对x求导得：xf'(x)=(1/2)x^(1/2)
f'(x)=(1/2)x^(-1/2)
f(x)=x^(1/2)+c
f(0)=c x=[f(x)-c]^2 g(x)=(x-c)^2
∫(0,c)(x-c)^2fx=(1/3)c^3=-8/3 c=-2
故f(x)=x^(1/2)－2

追问

要说明g(x)>=0可以根据题目已知条件(x>0)得出g(x)>0么?因为f(x)的定义域应该就为g(x)的值域吧?不知道这样对不对?

追答

你的理解是对的。