Question

定积分变限函数求导的问题

问题如图

Answer 1

设y=x，利用偏微分的链式求导法则：
df(u(x),v(x))/dx=∂f/∂u*du/dx+∂f/∂v*dv/dx
可知([0,x]表示从0到x的定积分)
d(∫[0,x]t*f(x^2-t^2)dt)/dx
=d(∫[0,y]t*f(x^2-t^2)dt)/dx
=∫[0,y]∂(t*f(x^2-t^2))/∂x*dt+∂(∫[0,y]t*f(x^2-t^2)dt)/∂y*dy/dx
=∫[0,y]2xt*f'(x^2-t^2)dt+y*f(x^2-y^2)*1
=∫[0,x]2xt*f'(x^2-t^2)dt+xf(0)

追问

可以说的简单一点么，我学的不深，不知道∂是什么，有没有简单一点的方法

Answer 2

设u=x^2-t^2,则t=√(x^2-u),F(x)=∫(0->x) tf(x^2-t^2)dt=1/2∫(0->x^2)f(u)du,F'(x)=1/2*2x*f(x^2)=xf(x^2)

追问

我把u带进去以后得到

为啥会多个负号出来？

追答

注意积分上下限。那样的话是x^2->0