Question

已知α，β为锐角，tanα=七分之一，sinβ=十分之根号十，求α＋2β的值

Answer 1

已知A、B均为锐角
∴sinB > 0，cosB > 0
∵sinB＝sqrt(10)/10
∴cosB＝sqrt(1－sin�0�5B)＝3sqrt(10)/10
∴tanB＝sinB/cosB＝1/3

根据倍角公式，得：
tan2B＝2tanB/(1－tan�0�5B)＝3/4
又知tanA＝1/7
根据和角公式，得：
tan(A＋2B)＝(tanA＋tan2B)/(1－tanA·Tan2B) ＝[(1/7)＋(3/4)]/[1－(1/7)·(3/4)]＝1
∴A＋2B＝45°＋k· 180°，k ∈ Z

∵函数tan(x)和sin(x)在区间(0°，90°)内都是增函数
又0 < 1/7 < 1/sqrt(3)，0 < 1/sqrt(10) < 1/2
即tan0° < tanA < tan30°，sin0° < sinB < sin30°
∴0° < A < 30°，0° < B < 30°
∴0° < A＋2B < 90°
∴A＋2B＝45°