Question

几何证明？

如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，角BAE=角BCE，角AED=角CED,，点BC,AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。
（1）求证：四边形ABCD是正方形。
（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

第一种方法∵ABCD是矩形 ∴AB=CD，AB∥CD ∴∠EDF=∠EBA，∠EFD=∠EAB

∴⊿EDF∽EBA ∴FD／AB=EF／AE=1／2 ∴FD=½AB=½CD ∴CF=½CD=½AB

同样的，易证明⊿FCG∽⊿ABG ∴FG／AG=FC／AB=1／2
∴FG=½AG ∴FG=AF

而AF=2EF ∴FG=2EF
第二种方法：(1)证明：∵∠CED是△BCE的外角，∠AED是△ABE的外角，
∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE，
∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD，
∴∠CBE=∠ABE=45°，
∴△ABD与△BCD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是正方形；
(2)当AE=2EF时，FG=3EF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，
∵AE=2EF，
∴BE：DE=AE：EF=2，
∴BC：AD=BE：DE=2，
即BG=2AD，
∵BC=AD，
∴CG=AD，
∵△ADF∽△GCF，
∴FG：AF=CG：AD，
即FG=AF=AE+EF=3EF．

Answer 2

⑴∵∠AED＝∠CED
∴∠AEB＝∠CEB
∵∠BAE＝∠BCE，BE＝BE
∴△ABE≌△CBE
∴AB＝BC
∴矩形ABCD是正方形

⑵∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD，AB＝CD
∴AB/DF＝AE/EF＝2/1
∴AB＝2DF
∴CD＝2DF
∴CF＝DF
∵AD∥BC
∴AF/FG＝DF/CF=1/1
∴FG＝AF＝AE＋EF＝2EF＋EF＝3EF