Question

已知，三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点。 （1）如图，E，F分别是AB,A

C上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。（2）若E,F分别为AB,AC延长线上的点，任由VE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否任为等腰直角三角形？证明你的结论。

Answer 1

（1）连结AD，因为AB=AC，∠BAC=90°D为BC的中点
所以AD⊥BC ，BD=AD，所以∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，所以△BDE≌△ADF
所以ED=FD，∠BDE=∠ADF
所以∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°
所以△DEF为等腰直角三角形
（2）若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示
连结AD，因为AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点
所以AD=BD，AD⊥BC，所以∠DAC=∠ABD=45°
所以∠DAF=∠DBE=135°
又AF=BE，所以△DAF≌△DBE
所以FD=ED，∠FDA=∠EDB
所以∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°
所以△DEF仍为等腰直角三角