Question

各项均为正数的数列 an 前n项和为sn，且4Sn=an^2+2an+1，(1)求数列{an}的通项

公式;(2)已知公比为q(q∈N*)的等比数列{bn}满足b1=a1，且存在m∈N*满足bm=am，b(m+1)=a(m+3)，求数列{bn}的通项公式. 求解第二问谢谢!

Answer 1

解：求得an=2n-1
设数列{bn}的公比为q，其通项公式为bn=q^(n-1)，那么由题意知道q^(m-1)=2m-1（1）.q^m=2m+5（2）。（2）/(1)得到q=1+6/(2m-1),因为m,q都是正整数，所以只有m=1,m=2符合题意，此时分别得到q=7，q=3.故有数列{bn}的通项公式为bn=7^(n-1)或者bn=3^(n-1)，（n∈N*）

追问

谢了，

Answer 2

（1）、4Sn=an^2+2an+1——》4S（n-1）=a（n-1）^2+2a（n-1）+1
——》4Sn-4S（n-1）=4an=（an^2+2an+1）-[a（n-1）^2+2a（n-1）+1]
——》（an^2+2an+1）-4an=a（n-1）^2+2a（n-1）+1
——》（an-1）^2=[a（n-1）+1]^2——》an-1=a（n-1）+1——》an-a（n-1）=2；
S1=a1，4S1=4a1=a1^2+2a1+1——》a1=1，所以{an}是首项a1=1，公差d=2的等差数列，
an=a1+（n-1）d=2n-1；
（2）、b1=a1=1——》bn=q^（n-1），
bm=am=2m-1=q^（m-1），
由题意知m为整数，——》2m-1为整数——》q为整数；
q=b(m+1)/bm=a（m+3）/am=（2m+5）/（2m-1）=1+6/（2m-1），为整数，
即：m=1或m=2，分别代入检验：
m=1——》q=7，b1=a1=1，b2=7=a4，符合要求——》bn=q^（n-1）=7^（n-1）；
m=2——》q=3，b2=a2=3，b3=9=a5，符合要求——》bn=q^（n-1）=3^（n-1）。