Question

线性代数问题

Answer 1

又是你吧？。。。我建议踏踏实实从头好好看一下课本。

CASE2，正因为他不是满秩的，所以有元素为0也有元素不为0.你要反着想，存在的反义词是任意，也就是说如果所有的mij都等于0，那么我们显然得到r(A)=0。所以，既然A的秩是n-1那么就肯定存在一个元素mij它不为0.又由矩阵的秩的性质，如果rA=n-1，那么肯定存在一个n-1阶的子式它的行列式不等于0，因此A的伴随矩阵肯定有一个元素不为0.因此A*的秩肯定大于等于1

CASE3，因为A的秩小于n-1，因此所有的n-1阶子式的行列式都为0.又根据伴随矩阵的定义，伴随矩阵的每个元素都是原矩阵的代数余子式（也就是n-1阶子式），那么既然所有的n-1阶子式都为0，那么伴随矩阵所有元素也都为0.故秩为0.

这个定理是很经典的定理。

追问

追答

是这个意思。

因为如果存在一个n-1阶子式不为0，那么就与r(A)<n-1矛盾了。

这个是行列式秩的一个定义。

Answer 2

有个定理
R(A) >= r 的充要条件是 A 至少有一个 r 阶子式不等于0
R(A) <=r 的充要条件是 A 的所有 r+1 阶子式都等于0

所以
当 R(A)= n-1 时, 至少有一个n-1 阶子式不等于0
而A的n-1阶子式必为某个元素的余子式, 故存在 Mij ≠ 0
当 R(A)<n-1 时, A的所有n-1阶子式都等于0
故所有的 Mij 都等于0