Question

判断下列级数的收敛性，如果级数收敛求其和

（1）1-1/3+1/9-1/27++···+(-1)^(n-1)·1/3^(n-1)+···
(2)1/3+1/6+···+1/3n+···
(3) ∞ Σn=1 1/(2n-1)(2n+1)
(4)∞ Σ n=1(√  (n+1)-√ n
(5)1/2+1/3+1/4+1/9+1/8+1/27+1/16+1/81+···
(6)1/3-2/5+3/7-4/9+···+(-1)^(n+1)·n/2n+1···

Answer 1

　　多了，怪不得没人理，看着这么多天了，就理一理。
　　（1）∑(n≥1)(-1/3)^(n-1) = 1/[1-(-1/3)] = 3/4（是几何级数，q=-1/3，收敛的）。
　　（2）1/3+1/6+···+1/3n+··· = (1/3)∑(1/n)，是调和级数，发散的。
　　（3）Σ(n≥1)[1/(2n-1)(2n+1)] 是收敛的，可通过其部分和来求和：
　　Sn = Σ(1≤k≤n)[1/(2k-1)(2k+1)]
　　　　= (1/2)Σ(1≤k≤n)[1/(2k-1)-1/(2k+1)]
　　　　= 1-1/(2n+1)，
接下来取极限，你懂的，……。
　　（4）Σ(n≥1)[√(n+1)-√n]，用（3）的方法可知其发散。
　　（5）1/2+1/3+1/4+1/9+1/8+1/27+1/16+1/81+··· = ∑(n≥1){[(1/2)^(n-1)]+[(1/3)^(n-1)]}，收敛的，用（1）的方法求和。
　　（6）∑(n≥1)[(-1)^(n+1)][n/(2n+1)]，通项不以0为极限，故发散。