Question

【高中数学=导数】已知函数 。（1）试讨论f(x)的单调性；

已知函数,,,,,。（1）试讨论f(x)的单调性；
（2）如果当x＞1时，f（x)＜﹣2a﹣1，求实数a的取值范围；
（3）记函数,,,,,,,,,,,,,,,。若g(x)在,,,,,
区间[1,4]上不单调，求实数a的取值范围。

==【请问第三问怎么做？？？？？】==第1、2问知道了======

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Answer 1

公式打不出来，简单说一下解法：

你把f（x）代入g（x）并化简，然后求导，得到的导数应该是x在分母上的，
没事，继续做，对求出的导数用x平方通分得到一个分式，因为分母是x平方，总是正的，所以只要考虑分子的正负，既然题目强调在区间[1,4]内不单调，那就是说导数的分子在区间[1,4]内可正可负，也就是说分子在区间[1,4]内存在0点。
你令分子等于0，得到一个方程，首先要确定德尔塔大于等于0（确保方程有解，无解的话就不存在正负变化了），这样可以得到a的一个粗糙范围，然后解方程，解出来的x是用a表示的，然后只要这两个解中的任何一个在区间[1,4]内就可以了（解不等式的时候因会需要用到两边平方，注意更具刚才得到的a的粗糙范围判断正负），注意这个范围还要和刚才的粗糙范围取交集。

追问

==能说下最后的答案是多少吗？？？？

追答

大概算了一下，应该是（0,1/3），不过这是手算的，不保证对。
两个范围都要算的，如果漏掉一个范围，可能会算出（0,6/19）

Answer 2

g(x)=f(x)+(a-4)lnx+3ax-(3a+1)/x

=(2-a)lnx-2ax-1/x+(a-4)lnx+3ax-(3a+1)/x
=-2lnx+ax-(3a+2)/x
g'(x)=-2/x+a+(3a+2)/x^2=(ax^2-2x+3a+2)/x^2
g(x)在[1,4]上不单调,则说明g'(x)=0在区间上有零点.
即有ax^2-2x+3a+2=0在区间上有零点.
即有a(x^2+3)=2x-2
a=(2x-2)/(x^2+3)
设h(x)=(2x-2)/(x^2+3).则有h'(x)=[2(x^2+3)-(2x-2)*(2x)]/(x^2+3)^2=(-2x^2+4x+6)/(x^2+3)^2=0
x^2-2x-3=0
(x-3)(x+1)=0
x1=3,x2=-1
故在[1,3]上有h'(x)>0,h(x)单调增,在[3,4]上有h'(x)<0,h(x)单调减
故有最大值是h(3)=(6-2)/(9+3)=4/12=1/3
又h(1)=0,h(4)=6/19
故0<h(x)<1/3
即a的范围是0<a<1/3.