Question

数学分析，幂级数展开习题求解

题目：已知f(x)是[a,b]上的函数，其各阶导函数存在且大于等于0，求证

f(x) = Sigma(0,+INF, f<n>(a) * (x - a) & n / n! )对任意x属于[a,b]成立

Sigma()是求和函数，第三个参数是求和的内容。其中f<n>(a)是f的n阶导数在a点的值

这道题我想估计f<n>(a)的范围，但是没有思路……求大神指点，谢谢！好的回答会加分啊

注：过程不必写得很详细，但最好能提供一个解题的思路，我更看重的是思考问题的方法！谢谢

Answer 1

注意到f(x)=f(a)+∫[a,x]f'(t)dt
=f(a)+∫[a,x]f'(t)d(t-x)，利用分部积分
=f(a)+(x-a)f'(a)+∫[a,x](x-t)f''(t)dt，如此反复利用分部积分
可得f(x)= Sigma(0,n, f<n>(a) * (x - a)^n / n! )+(∫[a,x]f<n+1>(t)*(x-t)^ndt)/n!
然后考虑对积分余项R(n,x)=(∫[a,x]f<n+1>(t)*(x-t)^ndt)/n! 作估计
作变换t=(a-x)s+x，可得
即R(n,x)=(∫[0,1]f<n+1>((a-x)s+x)*(x-a)^(n+1)*s^nds)/n!
=>R(n,x)/(x-a)^(n+1)=(∫[0,1]f<n+1>((a-x)s+x)*s^nds)/n!
因为f(x)各阶导数都非负，而(a-x)s+x≤(a-b)s+b,x∈[a,b],s∈[0,1]
所以R(n,x)/(x-a)^(n+1)≤R(n,b)/(b-a)^(n+1)
即R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*R(n,b)
而R(n,b)=f(b)- Sigma(0,n, f<n>(a) * (b - a)^n / n! )≤f(b)
所以R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*f(b)，即对任意x∈[a,b)，均有
R(n,x)->0,n->∞，即f(x)=Sigma(0,+INF,f<n>(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b)成立
最后说明x=b时上式也成立。设上式右边幂级数的收敛半径为r>0，
则显然b-a小于等于r，若b-a<r，则显然上式对x=b成立
若b-a=r，记上式幂级数系数为an，则∑an(x-a)^n在x∈(a,b)时为正项级数
所以若∑an(b-a)^n<+∞，则显然结论对x=b时也成立
若∑an(b-a)^n=+∞，则由cauchy收敛原理易得lim∑an(x-a)^n=+∞，x->b-
即limf(x)=+∞，x->b-，则显然和f(x)在[a,b]连续矛盾。
综上知f(x)=Sigma(0,+INF,f<n>(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b]成立