Question

高中数学解均值不等式问题！

已知A，B，C是三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC,求B的最大值为B0？
我已经算到CoSB=3(a^2+c^2)-2ac/8ac>=3(2ac)-2ac/8ac=1/2
这样算出来的的不是最小值吗？
人有点晕了，求解释！

Answer 1

• 解析：
  由正弦定理可得：
  a/sinA=b/sinB=c/sinC
  已知2sinB=sinA+sinC，那么有：2b=a+c
  上式两边平方得：4b²=a²+2ac+c²
  又由余弦定理得：b²=a²+c²-2ac*cosB
  那么：4(a²+c²-2ac*cosB)=a²+2ac+c²
  即8ac*cosB=3a²+3c²-2ac
  所以：cosB=(3a²+3c²-2ac)/(8ac)
  对于a>0,c>0,由均值定理有：a²+c²≥2ac
  那么：cosB≥(6ac-2ac)/(8ac)
  即cosB≥1/2 (当且仅当a=c时等式成立)
  易知∠B≤60°
  所以角B的最大值B0=60°

• 如果你满意，请采纳，谢谢！

Answer 2

根据三角函数的和差化积公式，sinA+sinC＝2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]
根据三角函数二倍角公式，sinB=2sin(B/2)cos(B/2)
A+C＝180-B
由2sinB=sinA+sinC可得
4sin(B/2)cos(B/2)＝2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2]＝2sin(90-B/2)cos[(A-C)/2]=2cos(B/2)cos[(A-C)/2]
2sin(B/2)=cos[(A-C)/2]
sin在[0，90]为增函数，要使其值最大，则cos[(A-C)/2]最大，即A＝C，cos[(A-C)/2]＝1
2sin(B/2)=1
sin(B/2)=1/2
B/2=30
B=60

Answer 3

2sinB=sinA+sinC,
2b=a+c
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=[3(a^2+c^2)-2ac]/8ac>=[3(2ac)-2a/8ac=1/2
余弦函数在（0，180）间是减函数cosB>=1/2
1/2最小，对应的角最大
所以B最大角为60度

Answer 4

解答：
∵ y=cosx在(0,π)上是减函数
∴ cosB最小的时候，角B 就是最大值。