Question

如图，在平面直角坐标系xOy，点A的坐标为（4,0），以点A为圆心，4为半径作圆与x轴交与O、B两点，OC为弦

如图，在平面直角坐标系xOy，点A的坐标为（4,0），以点A为圆心，4为半径作圆与x轴交与O、B两点，OC为弦，∠AOC=60°，P是x轴上的一动点，连接CP
1）求∠OAC的度数
2）当CP与⊙A相切时，求PO的长
3）当点P在直径OB上时，CP的延长线与⊙A相交于点Q，问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC=60°，三角形AOC是个等边三角形，因此∠OAC=60°；
（2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO=PA-OA得出OP的值．
（3）本题分两种情况：
①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO．
②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值．解答：解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°．

（2）∵CP与⊙A相切，
∴∠ACP=90°，
∴∠APC=90°-∠OAC=30°；
又∵A（4，0），
∴AC=AO=4，
∴PA=2AC=8，
∴PO=PA-OA=8-4=4．

（3）①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1；
∵OA是半径，
∴OC=OQ1，
∴OC=OQ1，
∴△OCQ1是等腰三角形；
又∵△AOC是等边三角形，
∴P1O=12OA=2；
②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2；
∵A是圆心，
∴DQ2是OC的垂直平分线，
∴CQ2=OQ2，
∴△OCQ2是等腰三角形；
过点Q2作Q2E⊥x轴于E，
在Rt△AQ2E中，
∵∠Q2AE=∠OAD=12∠OAC=30°，
∴Q2E=12AQ2=2，AE=23，
∴点Q2的坐标（4+23，-2）；
在Rt△COP1中，
∵P1O=2，∠AOC=60°，
∴CP1=23，
∴C点坐标（2，23）；
设直线CQ2的关系式为y=kx+b，则
-2=(4+23)k+b23=2k+b，
解得k=-1b=2+23，
∴y=-x+2+23；
当y=0时，x=2+23，
∴P2O=2+23． 求满意