Question

设函数f(x)=e^x-ax+a,其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1<x2,求a的取值范围

Answer 1

因为f(x)=e^x-ax+a 所以f‘(x)=e^x-a 令f’(x)=0 得到x=lna
下面进行分类讨论
1若a<=0 则lna不存在 所以f'(x)在x的定义域上一直为正 所以f(x)在x属于R上单调增
所以f(x)只可能和x轴有一个交点（也就是说y=0时只可能有唯一一个x与之对应）与题目中与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点不符，所以a<=0不可能
2若a>0 则lna存在 所以f'(x)在（-∞，lna)上为负，在(lna,+∞)上为正
所以f(x)在（-∞，lna)上单调减，在(lna,+∞)上单调增
所以f(x)的极小值为f(lna)=a+a-alna=a(2-lna) f(lna)也是f(x)的最小值
因为f(x)=e^x-ax+a,其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点
所以f(x)的最小值必须要小于0才行 所以f(lna)<0
a(2-lna)<0
所以0<a<e^2
综上0<a<e^2

追问

非常感谢您。还是这题，请您再费一下心。证明：f'(√x1x2)<0，(f'(x)为函数f(x)的导函数）

追答

不好意思，算了10多分钟，算不出来，抱歉啦

Answer 2

1. e^x1-ax1+a=0

2. e^x2-ax2+a=0

• 1试减2试得

• e^x1-e^x2-ax1+ax2=0

• e^x1-e^x2=a(x1-x2)

• 因为y=e^x是增函数

• 所以e^x1-e^x2<0

• 因为x1-x2<0

• 所以a>0

Answer 3