Question

设xyz为整数,x+y+z=3,x^3+y^3+z^3=3,则x^2+y^2+z^=

求详细过程，谢谢 记得我以前看到用的是增量法

Answer 1

你以前看到的答案是这个？
设x=1+a，y＝1+b，z＝1+c那么a+b+c = 0
代入x^3+y^3+z^3=3可以得到
a^3+b^3+c^3 + 3(a^2+b^2+c^2) = 0
有a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
可以得到a^3+b^3+c^3 = 3abc
所以a^2+b^2+c^2 = -abc 得到abc <=0
x^2+y^2+z^2= a^2+b^2+c^2+2(a+b+c) + 3 = a^2+b^2+c^2 + 3 = 3-abc
若abc有一个为0，那么x^2+y^2+z^2= 3 （此时a=b=c=0显然满足条件）
否则必然是两正一负，设a>=b>c，并且c<0
2(a^2+ab+b^2) = ab(a+b)
设ab = u,a+b=v
那么2v^2-2u = uv => 2v^2 = u(v+2)
所以u = 2v^2/(v+2) = 2(v-2) + 8/(v+2)
由于v＝a+b>0所以v的可取值为2，6
此时u为4，9
所以a+b=2,ab=4或a+b=6,ab=9
此时有整数解a=3,b=3,c=-6
对应x=4,y=4,z=-5
所以此时x^2+y^2+z^2= 57
所以x^2+y^2+z^2的值为57或3

希望可以帮到您