Question

如图,三角形ABC中,角ACB=90度,CD是AB边上的高,角CAB的角平分线分别交BC.CD于点E,F;过点E作EG垂直AB,垂足

（1）求证：CF=CE（2）求证：CE:BE=AC:AB
（3）若AB=10，AC=6，求CF的长

Answer 1

【1】∵AE是角平分线

∴∠3=∠4

∵CD是AB边上的高，∠ACB=90°

∴∠1+∠3=∠4+∠5=90°

∴∠1=∠5

又∵∠5=∠2

∴∠1=∠2   即CF=CE

【2】∵∠GEB=∠CBA，∠EGB=∠ACB=90°

∴△GEB∽△CAB

∴EG：BE=AC：AB

又∵AE是角平分线

∴CE=GE  即CE:BE=AC:AB

【3】由AB=10，AC=6可得BC=8

∵CE:BE=AC:AB

∴CE：8-CE=3：5   解得CE=3

∴CF=CE=3

如有不懂请追问，望采纳

Answer 2

（1）先由已知证明△ACE≌△AGE，得∠AEC=∠AEG，再由CD⊥AB，EG⊥AB推出CD∥EG得∠GEF=∠CFE，所以得∠CEF=∠CFE，从而证得CF=CE；
（2）由∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B证明△ACB∽△EGB，得AC：AB=EG：EB，再由（1）△ACE≌△AGE，EG=CE，所以 CE：BE=AC：AB；
（3）由勾股定理求出CB，再由EC：EB=AC：AB=3：5得出EC，从而求出CF．
（1）证明：∵AE平分∠CAB，∠ACB=90°，EG⊥AB
∴EG=CE
∴△ACE≌△AGE
∴∠AEC=∠AEG
∵CD⊥AB，EG⊥AB
∴CD∥EG
∴∠GEF=∠CFE
∴∠CEF=∠CFE
∴CF=CE

（2）证明：∵∠ACB=90°，EG⊥AB，∠B=∠B
∴△ACB∽△EGB
∴AC：AB=EG：EB
∵EG=CE
∴CE：BE=AC：AB

（3）解：∵∠ACB=90°，AB=10，AC=6
∴CB=8
∵EC：EB=AC：AB=3：5
∴EC=3
∴CF=EC=3．